Wzory skróconego mnożenia są jednym z podstawowych narzędzi matematycznych, które służą do uproszczenia obliczeń algebraicznych. W matematyce istnieje wiele różnych wzorów skróconego mnożenia, które pozwalają na szybkie i łatwe wykonywanie obliczeń.
Spis treści
- Kwadrat sumy (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Kwadrat różnicy: (a – b)² = a² – 2ab + b²
- Różnica kwadratów: a²-b² = (a-b)(a+b)
- Sześcian sumy: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- Sześcian różnicy: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
- Suma sześcianów: a³+b³ = (a+b)(a²- ab + b²)
- Różnica sześcianów: a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
- Kwadrat sumy trzech składników: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Czym są wzory skróconego mnożenia?
Jest to to zestaw matematycznych reguł, które pozwalają nam szybko i sprawnie wykonywać proste operacje matematyczne, takie jak mnożenie liczb. Te wzory stanowią podstawę do rozwiązywania bardziej zaawansowanych problemów matematycznych, dlatego warto poświęcić czas na ich naukę i zrozumienie. Wzory te obejmują różne przypadki i sytuacje, w tym mnożenie liczb całkowitych, liczb wymiernych oraz wielomianów.
Wzory skróconego mnożenia PDF — najważniejsze informacje w jednym pliku
Jeśli chcesz poprawić swoje umiejętności matematyczne i nauczyć się jak szybko i skutecznie dokonywać obliczeń, to pobranie pliku PDF ze wzorami skróconego mnożenia może okazać się bardzo pomocne.
Dzięki temu plikowi będziesz miał pod ręką wszystkie niezbędne wzory, które pozwolą Ci na szybkie i dokładne przeprowadzenie różnego rodzaju obliczeń.
Kwadrat sumy (a + b)² = a² + 2ab + b²
Wzór skróconego mnożenia (a+b)² = a²+2ab+b² stanowi regułę pozwalającą szybko wyznaczyć kwadrat sumy dwóch liczb a i b. Wzór ten można zastosować do wielu zadań matematycznych, na przykład:
- Obliczanie pola kwadratu o boku a+b: jeśli długość boku kwadratu wynosi a+b, to jego pole możemy wyznaczyć stosując wzór: P = (a+b)² = a²+2ab+b².
- Rozwiązanie równań kwadratowych: wzór ten pozwala na łatwe rozwiązywanie równań kwadratowych, np. x²+6x+9 = 0. W tym przypadku a = x i b = 3, co pozwala zastosować wzór (x+3)² = x²+6x+9, a następnie zastąpić wyrażenie (x+3)² w równaniu.
Zadania
- (2+3)² = ?
- (7+5)² = ?
- (1+4)² = ?
Kwadrat sumy – rozwiązania
(2+3)² = 4 + 12 + 9 = 25
(7+5)² = 49 + 70 + 25 = 144
(1+4)² = 1 + 8 + 16 = 25
Kwadrat różnicy: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Wzór skróconego mnożenia (a-b)² = a²-2ab+b² stanowi regułę pozwalającą szybko wyznaczyć kwadrat różnicy dwóch liczb. Warto poświęcić czas na jego naukę i zrozumienie zasad jego działania, ponieważ może okazać się bardzo pomocny w wielu sytuacjach. Wzór ten zazwyczaj można zastosować w tych samych zadaniach co poprzedni wzór skróconego mnożenia.
Zadania
- (8-6)² = ?
- (3-7)² = ?
- (10-2)² = ?
Kwadrat różnicy – rozwiązania
(8-6)² = 64 – 96 + 36 = 4
(3-7)² = 9 – 42 + 49 = 16
(10-2)² = 100 – 40 + 4 = 64
Różnica kwadratów: a²-b² = (a-b)(a+b)
Wzór skróconego mnożenia a²-b² = (a-b)(a+b) pozwala na szybkie wyznaczanie różnicy kwadratów dwóch liczb. Wzór ten jest prostym, ale bardzo przydatnym narzędziem matematycznym, które pozwala na m.in.: szybkie rozwiązywanie równań kwadratowych. Wzór ten ma zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np.:
- Rozkład wielomianów na czynniki: podobnie jak inne wzory skróconego mnożenia, ten również jest przydatny podczas faktoryzacji wielomianów. Na przykład, wielomian x²-4 można rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru x²-4 = (x-2)(x+2).
Zadania
- 25-4² = ?
- 9²-7² = ?
- 36-9 = ?
Różnica kwadratów – rozwiązania
25-4² = 5²-4² = (5-4)(5+4) = 9
9²-7² = (9-7)(9+7) = 32
36-9 = 6²-3² = (6-3)(6+3) = 27
Sześcian sumy: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Wzór skróconego mnożenia (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ to wzór pozwalający na szybkie wyznaczanie sześcianu sumy dwóch liczb, a także na uproszczenie wyrażeń algebraicznych. Możemy go zastosować w celach takich jak:
- Rozwiązywanie równań i nierówności.
- Obliczanie objętości sześcianu: wzór ten może być również wykorzystany do obliczania objętości sześcianu o boku a+b. W tym przypadku objętość wynosi V = (a+b)³.
- Rozkład wielomianu na czynniki
- Przekształcanie wzorów i nie tylko
Znajomość tego wzoru pozwala na zwiększenie szybkości i wykonywanych obliczeń, a także na łatwiejsze rozwiązywanie wielu zadań matematycznych.
Zadania
- (3 + 3)³ = ?
- (3 + 5)³ = ?
- (2 + 4)³ = ?
Sześcian sumy – rozwiązania
(3 + 3)³ = 27 + 81 + 81 + 27 = 216
(3 + 5)³ = 27 + 135 + 225 + 125 = 512
(2 + 4)³ = 8 + 48 + 96 + 64 = 216
Sześcian różnicy: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Wzór skróconego mnożenia (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ pozwala na szybkie wyznaczanie sześcianu różnicy dwóch liczb, a także na uproszczenie wyrażeń algebraicznych. Wzór ten jest podobny do poprzedniego wzoru, oba wzory skróconego mnożenia wykorzystamy w tych samych zadaniach.
Wzór skróconego mnożenia (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ jest bardzo przydatnym narzędziem matematycznym, które pozwala na szybkie wykonywanie bardziej skomplikowanych działań.
Zadania
- (6 – 2)³ = ?
- (5 – 2)³ = ?
- (3 – 1)³ = ?
Sześcian różnicy – rozwiązania
(6 – 2)³ = 216 – 216 + 72 – 8 = 64
(5 – 2)³ = 125 – 150 + 60 – 8 = 27
(3 – 1)³ = 27 – 27 + 9 – 1 = 8
Suma sześcianów: a³+b³ = (a+b)(a²- ab + b²)
Wzór skróconego mnożenia a³+b³ = (a+b)(a²- ab + b²) umożliwia szybkie wyznaczanie sumy sześcianów dwóch wyrażeń. Podobnie jak inne wzory skróconego mnożenia, często wykorzystywany jest podczas rozkładu wielomianu na czynniki oraz przy rozwiązywaniu równań i nierówności.
Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę
kwadratów tych wyrażeń minus iloczyn tych wyrażeń.
Zadania
- 2³ + 3³ = ?
- 2³ + 1³ = ?
- 4³ + 5³ = ?
Suma sześcianów – rozwiązania
2³ + 3³ = (2 + 3)(4 – 6 + 9) = 35
2³ + 1³ = (2 + 1)(4 – 2 + 1) = 9
4³ + 5³ = (4 + 5)(16 – 20 + 25) = 189
Różnica sześcianów: a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
Wzór skróconego mnożenia a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²), podobnie jak wzór na sumę sześcianów wykorzystywany jest w celu rozkładu wielomianu na czynniki oraz w trakcie rozwiązywaniu równań i nierówności.
Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę
kwadratów powiększoną o iloczyn tych wyrażeń.
Zadania
- 1³ – 3³ = ?
- 4³ – 2³ = ?
- 5³ – 3³ = ?
Różnica sześcianów – rozwiązania
1³ – 3³ = (1 – 3)(1 + 3 + 9) = -26
4³ – 2³ = (4 – 2)(16 + 8 + 4) = 56
5³ – 3³ = (5 – 3)(25 + 15 + 9) = 98
Kwadrat sumy trzech składników:
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Wzór skróconego mnożenia
Zadania
- (2 + 3 + 2)² = ?
- (5 + 4 + 2)² = ?
- (1 + 2 + 4)² = ?
Kwadrat sumy trzech składników – rozwiązania
(2 + 3 + 2)² = 4 + 9 + 4 + 12 + 8 + 12 = 49
(5 + 4 + 2)² = 25 + 16 + 4 + 40 + 20 + 16 = 121
(1 + 2 + 4)² = 1 + 4 + 16 + 4 + 8 + 16 = 49
Podsumowanie
Podsumowując, wzory skróconego mnożenia są niezwykle przydatne w matematyce i znajomość ich może znacznie ułatwić obliczenia algebraiczne. Są one wykorzystywane zarówno w podstawowej, jak i bardziej zaawansowanej matematyce, a także w innych dziedzinach nauki, takich jak fizyka czy ekonomia. Dzięki nim możliwe jest skrócenie czasu i wysiłku potrzebnego do wykonania skomplikowanych obliczeń, a także ułatwienie zapamiętywania wzorów poprzez zrozumienie ich podstaw.
Warto zatem poznać te wzory i ćwiczyć ich stosowanie, co może przynieść korzyści zarówno w szkole, jak i w życiu codziennym. Zachęcam do pobrania pliku PDF z wszystkimi wzorami skróconego mnożenia, który pozwoli na szybkie odwoływanie się do tych wzorów w każdej sytuacji, gdzie będzie to potrzebne.
